SADScript Level/DownhillSimplex

DownhillSimplex[] Functions manual

NAME †

DownhillSimplex[] -Nelder-Mead法を用いた最適化

SYNOPSIS †

DownhillSimplex[initial,f,MaxIterations->100];

↑

DESCRIPTION †

N次元の引数の関数の最小値解を得る場合に、初期状態ではN+1個の点からなる多面体、すなわち単体を選ぶ、これを逐次的に改良することで、最適解を得る。

関数の導関数が分からなくても、関数値だけ分かれば適用できる。しかし、回数が多く掛かる欠点がある。

N+1個の点の中で関数値が最大である点を、残りN個の点が定める超平面の逆側に、単体の体積を保存したまま移動させる。

移動後の点が最良点よりよければ、移動幅を大きくする。
谷状になっていることが検出されれば、移動幅を小さくする。
最適値に近づいているようならば、単体の体積を縮小する。

↑

Options †

VariableRange->{min1,min2,...,minn},{max1,max2,...,maxn}}. defaultはマイナス無限大からプラス無限大まで。
MaxIteration->nで最大のイタレーション回数を指定する。defaultはMax[100, 10*(n+1))].
Output->fn 途中結果を出力するファイルナンバーを指定する。defaultは6です。
Tolerance->tol　local minimumかどうか判断するtolerance値を指定する。もし、(fmax-fmin)/(abs(fmax)+abs(fmin))がtol値より小さくなれば、iterationループを終える。 defaultは1E-6である。
初期値は上昇順にソートしたものを与える必要がある。

↑

example †

4つのパラメータの場合、5個の初期値を用意する。

r1,r2,r3,r4のパラメータが与えれるので与えられたパラメータに対するsimulation結果を与える。

FFS;

d0={{-11.5, {-14,-35,-17.5,-20},
    {-18.0, {-14,-20,-17.5,-40},
    {-18.5, {-14,-40,-15.0,-40},
    {-22.8, {-15,-20,-15.0,-20},
    {-22.4, {-15,-40,-15.0,-40}};

initial=Sort[d0];    ! 初期値はSortしておく

f=[{r1_,r2_,r3_,r4_}]:=(Print["r=",{r1,r2,r3,r4}];Read[5,Real]);
                        ! 関数値を端末入力待ちになる。
                   　　 ! この代わりにsimulation結果を入れてやれば良い。

result=DownhillSimplex[initial,f,MaxIteration->5];
end;

<実行例>-----------------------------------------------------------------
r={-15,-25,-13.75,-10}  ! この変数に対応する関すうちが要求されている。
-20                     ! 端末から値を入力
{ -22.80000, -22.40000, -20.00000, -18.50000, -18.00000}       ! 1回目の更新
r={-15.5,-42.5,-11.875,-35}
-17                     ! 端末から値を入力
r={-14.375,-25.625,-16.09375,-23.75}
-23                     ! 端末から値を入力
{ -23.00000, -22.80000, -22.40000, -20.00000, -18.50000}       ! 2回目の更新
r={-15.6875,-15.3125,-14.921875,-6.875}
-25                     ! 端末から値を入力
r={-16.53125,-2.96875,-14.8828125,9.6875}
-30                     ! 端末から値を入力
{ -30.00000, -23.00000, -22.80000, -22.40000, -20.00000}       ! 3回目の更新
r={-15.453125,-19.296875,-16.73828125,-27.03125}
-19                     ! 端末から値を入力
r={-15.11328125,-23.57421875,-14.4970703125,-14.2578125}
-29                     ! 端末から値を入力
{ -30.00000, -29.00000, -23.00000, -22.80000, -22.40000}       ! 4回目の更新
r={-15.509765625,3.916015625,-15.23681640625,15.83984375}
-31                     ! 端末から値を入力
r={-15.7646484375,25.8740234375,-15.355224609375,43.759765625} ! 5回目の更新
                                              !MaxIterations->5なのでこれで終了
end;

In[2]:= result
Out[2]:= {{-31,{-15.509765625,3.916015625,-15.23681640625,15.83984375}},
 {-30,{-16.53125,-2.96875,-14.8828125,9.6875}},
 {-29,{-15.11328125,-23.57421875,-14.4970703125,-14.2578125}},
 {-23,{-14.375,-25.625,-16.09375,-23.75}},{-22.8,{-15,-20,-15,-20}}}
In[3]:=

Example2

f:=Apply[Function[{x,y},((x^2+y^2)-1)*(x^2+y^2)-(x-.5)/3.],#]&; ! 関数を定義する
v={{1.,1.},{0.,-1.},{0.,1.}}; ! 初期値
limit={{-0.5,-1.5},{0.65,1.5}}; ! 探索範囲を指定
p=Sort[Map[{f[#],#}&,v]]; ! 初期値をソートする
 
DownhillSimplex[p,f,MaxIteration->100,
    Tolerance->1e-4,VariableRange->limit]; !極小値を探索する

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